Schaken is onze maatstaf voor diepgang. Een onopvallende ontwerpkeuze geeft WordChess een veel grotere ruimte van mogelijke partijen.
In het Engels geschreven en geredigeerd. Deze Nederlandse versie is met machinevertaling gemaakt; waar precisie ertoe doet, is het Engelse origineel leidend. Lees het origineel in het Engels →
In 1950 schatte Claude Shannon, de vader van de informatietheorie, hoeveel verschillende schaakpartijen er mogelijk zijn. Zijn antwoord, ruwweg 10120, werd het Shannongetal, en het verankert sindsdien onze intuïtie. 1 Het is een getal zo groot dat het het fysieke heelal in verlegenheid brengt, dat slechts ongeveer 1080 atomen bevat. 6 Je zou elk atoom een eigen schaakbord kunnen geven en nog steeds niet genoeg borden hebben om elke partij uit te spelen.
Schaken verdient dit eerlijk. Vanuit de beginstelling heeft wit 20 zetten; zwart antwoordt met 20, en na één enkele zettenwisseling zijn er al 400 stellingen. Na zes halve zetten passeert het aantal de 119 miljoen; bij de tiende bereikt het 69 biljoen. 4 Spelers noemen dit de vertakkingsfactor, het aantal legale keuzes per beurt. Bij schaken is die gemiddeld ongeveer 35. 2 Dat bescheiden getal, zet na zet opgestapeld, is de motor achter het mysterie van het spel. Over de eerste twintig zetten levert het in de orde van 1060 partijen op. De bron van de diepgang van schaken zijn niet de stukken. Het is de vertakking.
De vroege zettenaantallen van schaken zijn exact bekend. Die van WordChess zijn schattingen, maar de twee spellen lopen zo snel uiteen dat het verschil binnen één beurt onmiskenbaar is. 4
| Na zet | Schaken, exact 4 | WordChess, schatting 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
De schaakcijfers zijn exacte tellingen van zetgeneratie (perft). 4 De WordChess-cijfers gaan uit van ruwweg een miljoen legale plaatsingen voor de eerste beurt van elke speler (dus ~1012 nadat beiden hebben gezet) en een voorzichtige duizend voor elke beurt daarna, zie de toelichting bij de methode.
WordChess oogt als de zachtaardiger neef, een woordspel op een rooster, dichter bij een kruiswoordpuzzel dan bij een messengevecht. Die indruk is precies verkeerd, en één regel in de spelregels verklaart waarom: elke speler heeft een complete set van honderd tegels in handen. 7
Er is geen rekje met zeven tegels, geen geluk bij het trekken, geen wachten op een klinker. In elke beurt kan een speler grijpen naar bijna elk van de 148.941 woorden in het woordenboek, woorden tot vijfentwintig letters lang, de breedte van het bord, en zoeken waar hij het kwijt kan. 7 Scrabble, afgeknepen door zijn zeven willekeurige tegels, kan alleen bouwen met wat er toevallig op het rekje staat. 5 WordChess haalt die flessenhals volledig weg.
Het gevolg is heftig. Al de allereerste beurt biedt ergens tussen één en twee miljoen legale plaatsingen: een woord, een richting en een plek op het wijd open bord van 25×25. Als beide spelers pas één keer hebben gezet, is het spel al vertakt tot zoiets als een biljoen stellingen. Schaken heeft er na dezelfde zettenwisseling vierhonderd. 4
De regels zijn eenvoudiger. De ruimte aan mogelijkheden niet.
Elke gemarkeerde sport ligt veertig ordes van grootte, een factor 1040, boven de sport eronder. Op deze schaal klimmen de eerste twintig zetten van WordChess ruim voorbij het aantal atomen in het heelal en landen ze precies waar een volledige schaakpartij staat. 1
Naarmate het bord voller raakt, kruipt de vertakkingsfactor van schaken omhoog naar 35 en blijft daar. Die van WordChess blijft in de duizenden: elk al gespeeld woord wordt een nieuw ankerpunt om aan te haken, en door de volledige tegelset is de enige echte grens welke kruisingen het woordenboek toestaat. 7
Reken dat door. Zelfs als elke beurt, de rijke opening inbegrepen, slechts bewust voorzichtige duizend legale zetten bood, zou WordChess binnen zijn eerste twintig zetten 10120 bereiken, het getal van Shannon, de complexiteit van een volledige schaakpartij. Sta tienduizend zetten per beurt toe, nog steeds redelijk, en twintig zetten klimmen richting 10160: een marge van zestig tot honderd ordes van grootte boven de 1060 van schaken. 1
Verklein de schatting tot je aanneemt dat een speler maar driehonderd legale zetten per beurt vindt, een fractie van het werkelijke aantal, en twintig zetten leveren nog steeds 1099 op. Nog altijd veertig ordes van grootte voorbij schaken. De conclusie overleeft elke pessimistische aanname die je erop loslaat. 1
De getallen van schaken zijn het resultaat van decennia uitputtend rekenwerk; ze zijn bekend. Die van WordChess zijn zorgvuldige schattingen, afgeleid van de echte parameters, een bord van 25×25, een woordenboek van 148.941 woorden en een volledige set van 100 tegels in de hand van elke speler, en ze hebben ruime foutmarges. Waar geen twijfel over bestaat, is de richting en de omvang van het verschil. Elke aanname in dit stuk is voorzichtig gekozen, en het verschil is nog steeds enorm.
Schaken legt je beperkingen op: een paard beweegt als een paard, een pion schuift één veld op, en je mogelijkheden zijn, hoe rijk ook, eindig en vertrouwd. WordChess geeft je de hele taal en het hele bord en vraagt je te kiezen. Dat is de ruil die het ontwerp maakt, en het is de reden dat het vriendelijke rooster een combinatorische oceaan verbergt.
Niets hiervan bewijst dat WordChess moeilijker is om goed te spelen; een grotere zoekruimte is niet hetzelfde als een diepere strategie, en het genie van schaken is hoeveel betekenis het uit zijn smalle vertakking weet te persen. Maar wie een woordspel ziet als de lichte optie, heeft de wiskunde precies omgekeerd. Tijdens zijn eerste twintig zetten laat WordChess het grote spel der koningen er bijna klein uitzien.
Method. "20 moves" means 20 by each player, 40 half-moves, the chess convention. Chess: game count ≈ b40 with b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: opening branching estimated from (playable words that fit through the centre) × (placements per word) ≈ 106 per side; later turns held at a conservative 103–104. The 20-move figures deliberately apply that later-turn b to all 40 half-moves, openings included: b40 ≈ 10120–10160, a floor; counting the two ~106 opening turns adds about six more orders of magnitude (≈10126–10166). The 1099 floor uses b = 300 throughout. These are estimates, not proofs; see "A note on certainty."