Een krachtmeting in toestandsruimte tussen een plat rooster van tweeën en een kubus die volledig uit drieën is opgebouwd.
In het Engels geschreven en geredigeerd. Deze Nederlandse versie is met machinevertaling gemaakt; waar precisie ertoe doet, is het Engelse origineel leidend. Lees het origineel in het Engels →
Beide spellen zijn schuifpuzzels met getallen. In 2048 duw je een 4×4-rooster van zestien vakjes in een van vier richtingen; gelijke tegels botsen en verdubbelen, zodat ze de machten van twee beklimmen. In 3927 duw je een 3×3×3-kubus van zevenentwintig vakjes in een van zes richtingen; drie gelijke blokken botsen en verdrievoudigen, zodat ze de machten van drie beklimmen: 3, 9, 27, precies de cijfers van de naam. 1 Vragen welk spel moeilijker is, is eigenlijk vragen welk spel de grotere oceaan aan mogelijke posities verbergt. Laten we dus proberen het water te meten.
De ruwe omvang van een bord groeit als (symbolen per vakje)cells. Het aantal vakjes staat in de exponent, en daar zit alle hefboomwerking. 2048 biedt zestien vakjes; 3927 biedt er zevenentwintig. Houd het alfabet per vakje gelijk en de kubus is al groter met een factor van ruwweg a27−16 = a11; met een alfabet van tien symbolen is dat alleen al honderd miljard keer zoveel toestanden, nog voordat we met iets anders rekening houden. De extra dimensie, niet de rekenkunde in grondtal 3, is de echte motor.
Elk vakje is leeg of bevat één tegelwaarde. Voor 2048 met de 256-tegel als plafond spreekt een vakje een van negen symbolen: leeg, plus {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Een gepubliceerde bovengrens die precies op dit alfabet is gebouwd, zet het 4×4-bord op ongeveer 5,63 × 1014 posities, en de auteurs geven ruiterlijk toe dat dit plafond ook onmogelijke borden meetelt die in werkelijkheid nooit kunnen voorkomen. 2 Geef 3927 een vergelijkbare diepte, leeg plus {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, acht symbolen, en het ruwe plafond komt uit op 827 ≈ 2,4 × 1024. Grondtal 3 levert 3927 minder symbolen per vakje op dan grondtal 2 zou doen; de elf extra vakjes geven het de hemel terug.
Schuif de waardeladders iets dieper en het plafond van 3927 streeft dat van 2048 met ergens tussen een miljard en honderd miljard keer voorbij. De kubus wint op de exponent.
Niemand heeft de bereikbare toestanden van 2048 op volledige grootte opgesomd, laat staan die van 3927. Maar onderzoekers hebben verkleinde 2048-borden uitputtend opgelost, en die exacte cijfers verankeren onze schattingen. Een 3×3-bord van 2048 telt 48.713.519 bereikbare toestanden; rek het op tot 4×3 en het aantal springt over het biljoen heen, naar 1.152.817.492.752 toestanden, met 739.648.886.170 verschillende posities na een zet. 3 Elk extra vakje vermenigvuldigt de wereld. Trek die curve door tot 27 vakjes en geen eerlijke tabel kan nog één enkel getal afdrukken.
| Eigenschap | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Bord | 4×4 plat | 3×3×3-kubus |
| Vakjes | 16 | 27 |
| Grondtal | 2 | 3 |
| Samenvoegregel | 2 gelijke → verdubbelen | 3 gelijke → verdrievoudigen |
| Schuifrichtingen | 4 | 6 |
| Symbolen / vakje (gelijke diepte) | 9 | 8 |
| Ruw plafond (incl. onmogelijke borden) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Geciteerde verfijnde bovengrens | 5.63 × 10¹⁴ | niet gepubliceerd |
| Exacte telling, 4×3-deelbord | 1.15 × 10¹² | , |
Elk groot getal hier is een bovengrens of een schatting van de orde van grootte, nooit een volkstelling. De plafonds tellen borden mee die regelmatig spel nooit kan bereiken, bijvoorbeeld een bord met één enkele losse tegel (beide spellen beginnen met twee tegels, en voegen na elke zet een nieuwe toe, dus geen enkel bord komt ooit terug tot één tegel), of waarden die geen enkele reeks samenvoegingen kan opleveren. De cijfers voor 2048 komen uit collegiaal getoetst onderzoek; de cijfers voor 3927 zijn mijn eigen ruwe plafonds, op dezelfde manier berekend, en moeten gelezen worden als “niet groter dan dit, waarschijnlijk veel minder”. De regels van beide spellen zijn gemeten aan de ontwerpdocumenten van het spel, niet aangenomen.
De omvang van de toestandsruimte is de kaart; de vertakkingsfactor is hoe snel je die afloopt. Bij elke beurt kiest de speler een richting, tot vier in 2048, tot zes in 3927, dus de kubus biedt vijftig procent meer echte keuzes per zet. Dan grijpt het toeval in: het spel laat een nieuwe tegel in een willekeurig leeg vakje vallen. 2048 laat een 2 of een 4 verschijnen, ruwweg twee uitkomsten per open vakje, verdeeld over tot wel vijftien lege vakjes; 3927 laat altijd één enkele 3 verschijnen, maar in een van tot wel zesentwintig lege vakjes. 1 Vermenigvuldig beslissing met toeval en de spelboom van 3927 waaiert bij elke halve zet breder uit, en omdat samenvoegingen van drie zeldzamer zijn dan samenvoegingen van twee, duren de partijen doorgaans langer, waardoor de boom niet alleen breder maar ook dieper wordt.
“Moeilijker” is voor een mens een kwestie van gevoel, en 2048 is geen makkie: beslissen of een willekeurige positie een doeltegel kan bereiken, is aantoonbaar NP-moeilijk op een algemeen bord. 4 Maar als combinatorisch object is 3927 met een ruime, eerlijke marge het grotere beest: meer vakjes in de exponent, meer richtingen in de vertakking, langere partijen in de diepte. De rekenkunde in grondtal 3 waaraan het zijn naam dankt, is bijna een dwaalspoor. De moeilijkheid zat nooit in de drieën. Ze zat in de derde dimensie.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.