De verborgen efficiëntie van grondtal drie, en de vraag of een spel dat erop gebouwd is stilletjes de elegantere machine is.
In het Engels geschreven en geredigeerd. Deze Nederlandse versie is met machinevertaling gemaakt; waar precisie ertoe doet, is het Engelse origineel leidend. Lees het origineel in het Engels →
3927 is 2048, herbouwd in drie dimensies en in een andere rekenkunde. Het bord is een 3×3×3-kubus van zevenentwintig vakjes, en je schuift de hele kubus in een van zes richtingen. Wanneer drie tegels met dezelfde waarde botsen, verdubbelen ze niet; ze verdrievoudigen. Een drie wordt een negen, een negen wordt een zevenentwintig, en zo verder: 81, 243, 729. De naam zelf somt de eerste drie tegels op, 3·9·27, en alles aan het ontwerp is drieën tot op de bodem: drie per as, drie per samenvoeging, drie als groeifactor. 4
Zijn voorouder is hardnekkig binair. Het klassieke 2048 werkt met machten van twee, 2, 4, 8, 16…, en voegt tegels per paar samen. Twee is het getal van kop of munt, van de transistor, van de bit. De natuurlijke vraag die een nieuwsgierige speler stelt, is dus of het omwisselen van twee voor drie louter een noviteit is, of dat drie al die tijd een echt voordeel verborg. Het blijkt dat de wiskunde er een mening over heeft, en die mening is verrassend stellig.
Stel dat je een machine moet bouwen die getallen opslaat. Elke cijferpositie kost je iets, een wieltje, een draad, een buis, en die kosten nemen toe met het grondtal, omdat een cijfer in grondtal b b onderscheidbare toestanden nodig heeft. Maar een groter grondtal betekent ook dat je minder cijfers nodig hebt om een bepaald getal te bereiken. Daar zit een spanning, en die heeft een naam: radixeconomie.
Formeel is de economie van het weergeven van een getal N in grondtal b gelijk aan het grondtal maal het aantal cijfers: E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 Een groot grondtal levert korte getallen op maar dure cijfers; een klein grondtal is goedkoop per cijfer maar dijt uit. Ergens tussen de twee uitersten ligt een optimum, en dat is niet waar het grootste deel van onze technologie terechtkwam.
| Grondtal | b ÷ ln b | t.o.v. optimum |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | optimum |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Voor grote N gedraagt de economie zich als (b ÷ ln b) · ln N, dus de efficiëntie van een grondtal hangt volledig af van de factor b ÷ ln b. Minimaliseer die met een beetje analyse en het antwoord is exact en vreemd: het allerzuinigste grondtal is e, ongeveer 2,71828. 1 Een computer met 2,718 toestanden per cijfer kun je natuurlijk niet bouwen. Maar je kunt wel vragen welk geheel getal het dichtst bij dat ideaal ligt, en de winnaar, die zowel twee als tien verslaat, is drie.
Het verschil is niet academisch. Grondtal drie komt tot op een halve procent van het theoretische optimum, terwijl binair een toeslag van zes procent betaalt en decimaal een verpletterende zestig. Een concrete manier om het te voelen: om elk getal van 0 tot en met 999.999 te schrijven, heeft binair 20 cijfers nodig, decimaal 6, maar ternair slechts 13, en 13×3 is een kleiner totaal dan 20×2. 1 Drie pakt werkelijk meer telvermogen in minder structuur.
De natuur werd gevraagd naar de efficiëntste manier om te tellen, en ze antwoordde met een irrationaal getal. Het gehele getal dat het dichtst bij dat antwoord ligt, is drie.
Dit is niet zomaar een curiositeit uit de leerboeken. In 1958 bouwde een team aan de Staatsuniversiteit van Moskou, onder leiding van Nikolaj Broesentsov en de wiskundige Sergej Sobolev, de Setun, de beroemdste ternaire computer die ooit is gemaakt. 3 Waar het Westen zich vastlegde op bits, telde de Setun in trits, en hij gebruikte een bijzonder mooi schema: gebalanceerd ternair, waarvan de drie cijferwaarden niet 0, 1, 2 zijn, maar −1, 0, +1. 2
De symmetrie werpt meteen vruchten af. Een getal draagt zijn eigen teken, zonder apart tekenbit en zonder kunstgrepen met het twee-complement, en om een waarde van teken te wisselen, draai je eenvoudig elk cijfer om. Afronden en afkappen worden dezelfde bewerking. Donald Knuth noemde het “misschien wel het mooiste talstelsel van allemaal”. 2 Broesentsov, die geen transistors had, wist drie stabiele toestanden te halen uit paren ferrietkernen; er werden ongeveer vijftig Setuns gebouwd, de meeste bestemd voor het wiskundeonderwijs aan Sovjetuniversiteiten. 3 De machine werkte, ze was goedkoop, en ze was haar tijdgenoten stilletjes vooruit.
Hier moet een zorgvuldige schrijver zichzelf in toom houden. Radixeconomie is een bewering over het opslaan en verwerken van getallen onder specifieke kostenaannames, en zelfs wiskundigen merken op dat die aannames slechts bij benadering kloppen; een vollediger kostenberekening rechtvaardigt vaak opnieuw het binaire stelsel, en daarom draait de wereld erop. 1 Een samenvoegpuzzel is geen geheugenbank; niemand zit tijdens de koffiepauze het aantal buizen te minimaliseren. 3927 is dus in geen enkele technisch dragende zin “efficiënter”, en het zou vals spelen om dat te beweren.
En toch. Het spel erft iets wat waar is. Groei door verdrievoudiging bereikt grote getallen in minder, zwaarwegender zetten; elke samenvoeging doet meer werk, en een 3×3×3-kubus is het kleinste bord waarop samensmelting per drie in elke richting ruimte krijgt. 4 Het ontwerp is niet toevallig bij drie uitgekomen; het landde op het gehele getal dat de wiskunde van het tellen al sinds het begin van de elektronische rekentechniek stilletjes verkiest, het getal waarvoor de ingenieurs van de Setun bewust kozen. Twee is het getal waar we op terugvielen. Drie is het getal dat we gekozen zouden hebben als efficiëntie, en niet kop of munt, het laatste woord had gehad. Dat de tegels toevallig 3, 9, 27 spellen, is een kleine grap die het universum al aan het vertellen was.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.